Triunghiul

Definitie:

Figura geometrica obtinutã prin reunirea a trei segmente [AB], [BC], [AC], unde A, B, C sunt puncte necoliniare, se numeste triunghi.

Perimetrul :

P = 2p = a + b + c

Semiperimetrul :

p =
a + b + c
    2          

Aria triunghiului :

AABC =
AD*BC
    2     

Proprietate:

Suma masurilor unghiurilor unui triughi este de 180o

Clasificarea triunghiurilor

a) Dupa laturi

1. Triunghi oarecare (laurile sunt diferite doua cate doua)
a b, b c, c a

2. Triunghi isoscel (are doua laturi congruente)
b = c, a - baza

3. Triunghi echilateral (are toate laturile congruente)
a = b = c

Observatie: Orice triunghi echilateral este si isoscel

b) Dupa unghiuri

1. Triunghi ascutitunghic (are toate unghiurile ascutite)
m(A) < 90o, m(B) < 90o, m(C) < 90o

2. Triunghi dreptunghic (unul dintre unghiurile triunghiului are masura egala cu 90o)
m(A) = 90o

3. Triunghi obtuzunghic (unul dintre unghiurile triunghiului are masura mai mare de 90o)
90o < m(A) < 180o


Linii importante in triunghi

1. Mediana - segmentul ce uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
[AB'][CB'], [BA'][CA'], [AC'][BC']
AA' BB' CC' = {G}
G - centrul de greutate al triunghiului
G este punct interior triunghiului ABC
G este situat pe fiecare mediana la o treime de baza si doua treimi de varf

GA'=
1
3
AA';  AG=
2
3
AA' 
Mediana

2. Bisectoarea unui triunghi este bisectoare unui unghi al triunghiului, adica semidreapta situata in interiorul triunghiului care formeaza cu laturile acestuia doua unghiuri congruente.
BAA'CAA', ABB'CBB', ACC'BCC'
AA' BB' CC' = {I}
I - centrul cercului inscris in triunghi
I este punct interior triunghiului ABC

Bisectoarea

3. Inaltimea - segmentul de dreapta dus dintr-un varf al triunghiului perpendicular pe latura opusa.
AA'BC, BB'AC, CC'AB
AA' BB' CC' = {H}
H - ortocentrul triunghiului ABC
H - este punct interior triunghiului ABC daca triunghiul este ascutitunghic, este exterior triunghiului daca triunghiul este obtuzunghic si coincide cu varful unghiului drept daca triunghiul este dreptunghic.

Inaltimea

4. Mediatoarea unui triunghi este mediatoarea unei laturi a triunghiului, adica dreapta perpendiculara pe latura, prin mijlocul acesteia.
[AB'][CB'], [BA'][CA'], [AC'][BC']
d BC = {A'}, g AC = {B'}, e AB = {C'}
d g e = {O}
O - centrul cercului circumscris triunghiului
O - este punct interior triunghiului ABC dacã triunghiul este ascutitunghic, este exterior triunghiului daca triunghiul este obtuzunghic si coincide cu mijlocul ipotenuzei daca triunghiul este dreptunghic.

Mediatoarea

Congruenta triunghiurilor

Definitie:

Doua triunghiuri se numesc congruente daca au laturile respectiv congruente si unghiurile respectiv congruente

ΔABC≡ΔA'B'C'⇔ [AB]≡[A'B'];
[AC]≡[A'C'];
[BC]≡[B'C']
∠A≡∠A';
∠B≡∠B';
∠C≡∠C';

Cazuri de congruenta


CAZUL 1. (L.U.L.)

Doua triunghiuri oarecare, care au cate doua laturi si unghiul cuprins intre ele respectiv congruente, sunt congruente

[AB]≡[A'B']
[BC]≡[B'C']
∠B≡∠B'
} (L.U.L.)
ΔABC≡ΔA'B'C'
L.U.L.


CAZUL 2. (U.L.U.)

Doua triunghiuri oarecare, care au cate o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente, sunt congruente

[BC]≡[B'C']
∠B≡∠B'
∠C≡∠C'
} (U.L.U.)
ΔABC≡ΔA'B'C'
U.L.U.


CAZUL 3. (L.L.L.)

Doua triunghiuri oarecare, care au toate laturile respectiv congruente, sunt congruente

[AB]≡[A'B']
[AC]≡[A'C']
[BC]≡[B'C']
} (L.L.L.)
ΔABC≡ΔA'B'C'
L.L.L.

Proprietatile triunghiului isoscel

1. Daca triunghiul este isoscel, atunci unghiurile opuse laturior congruente sunt congruente

ΔABC, [AB]≡[AC] ⇔ ∠B≡∠C

2. Daca triunghiul este isoscel si AA' este bisectoare unghiului din varf atunci aceasta bisectoare este si inaltimea corespunzãtoare bazei, este si mediana corespunzatoare bazei, si mediatoarea bazei

ΔABC, [AB]≡[AC]
[AA']-bisectoarea
} { [AA'] - inaltime
[AA'] - mediana
[AA'] - mediatoare

3. Daca triunghiul este isoscel iar BM si CN sunt inaltimile laturilor congruente (BM⊥AC, CN⊥AB) atunci aceste inaltimi sunt congruente

ΔABC, [AB]≡[AC]
BM⊥AC
CN⊥AB
} [BM]≡[CN]

4. Daca triunghiul este isoscel iar BB' si CC' sunt medianele laturilor congruente atunci aceste mediane sunt congruente

ΔABC, [AB]≡[AC]
[AC']≡[BC']
[AB']≡[CB']
} [BB']≡[CC']

5. Daca triunghiul este isoscel iar BE si CF sunt bisectorelor unghiurilor congruente atunci aceste bisectore sunt congruente

ΔABC, [AB]≡[AC]
∠ABE≡∠CBE
∠ACF≡∠BCF
} [BE]≡[CF]

6. Daca intr-un triunghi doua linii importante coincid (sunt identice, se suprapun), atunci triunghiul este isoscel.


Proprietatile triunghiului echilateral

1. Daca triunghiul este echilateral, atunci toate unghiurile sunt congruente si egale cu 60o

ΔABC, [AB]≡[AC]≡[BC] ⇔ ∠A≡∠B≡∠C
m(∠A)+m(∠B)+m(∠C)=180o
=> m(∠A)=m(∠B)=m(∠C)=60o

2. Daca triunghiul este echilateral atunci bisectoarele unghiurilor triunghiului sunt si inaltimile , sunt si medianele, si mediatoarele corespunzatoare laturilor
Altfel spus, in trunghiul echilateral toate liniile importante coincid

ΔABC
[AB]≡[AC]≡[BC]
[AA'],[BB'],[CC']-bisectoare
} { [AA'],[BB'],[CC']
inaltimi
mediane
mediatoare

3. Daca triunghiul este echilateral si cum toate liniile importante in triunghi coincid, atunci si intersectiile lor (centrul de greutate, centrul cercului inscris , ortocentrul si centrul cercului circumscris triunghiului) coincid.

ΔABC echilateral ⇒ G=I=H=O

4. Daca un triunghi isoscel are masurile unghiurile congruente egale cu 60o atunci triunghiul este echilateral.

ΔABC - isoscel si m(∠A)=m(∠B)=60o
⇒ m(∠C)=60, deci ΔABC - echilateral

5. Daca intr-un triunghi toate linii importante coincid (sunt identice, se suprapun), atunci triunghiul este echilateral.


Proprietatile triunghiului dreptunghic

Intr-un triunghi dreptunghic, cateta ce se opune unui unghi cu masura de 30o are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei

ΔABC - dreptunghic, cu m(∠A)= 90o
si m(∠C)= 30o
=> AB =
1
2
BC

Cazurile de congruenta ale triunghiurilor dreptunghice


1. Doua triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente, sunt congruente(Unghiurile cuprinse intre catete sunt unghiuri drepte, deci conform cazului de congruenta L.U.L., tringhiurile sunt congruente).

ΔABC si ΔA'B'C' - dreptunghice, cu m(∠A)=m(∠A')=90o
daca [AB]≡[A'B'] si [AC]≡[A'C']
=> ΔABC ≡ ΔA'B'C'


2. Doua triunghiuri dreptunghice care au cate o cateta si unghiul ascutit alãturat acesteia respectiv congruente, sunt congruente(Al doilea unghi alaturat catetei esti unghiul drept, deci conform cazului de congruenta U.L.U., tringhiurile sunt congruente).

ΔABC si ΔA'B'C' - dreptunghice, cu m(∠A)=m(∠A')=90o
daca [AB]≡[A'B'] si m(∠B)=m(∠B')
=> ΔABC ≡ ΔA'B'C'


3. Daca doua triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele congruente si cate unul din unghiurile ascutite congruente, atunci ele sunt congruente(Al treilea unghi al fiecarui triunghi, au masuri egale conform sumei unghiurilor unui triunghi, deci conform cazului de congruenta U.L.U., tringhiurile sunt congruente).

ΔABC si ΔA'B'C' - dreptunghice, cu m(∠A)=m(∠A')=90o
daca [BC]≡[B'C'] si m(∠B)=m(∠B')
=> m(∠C)=m(∠C') => ΔABC ≡ ΔA'B'C'


4. Daca doua triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele si cate o cateta respectiv congruente, atunci ele sunt congruente(Cealalta cateta a fiecarui triunghi, au masuri egale conform teoremei lui Pitagora(Patartul ipotenusei este esal cu suma patratelor cateteor), deci conform cazului de congruenta L.L.L., tringhiurile sunt congruente).

ΔABC si ΔA'B'C' - dreptunghice, cu m(∠A)=m(∠A')=90o
daca [BC]≡[B'C'] si [AC]≡[A'C']
=> [AB]≡[A'B'] => ΔABC ≡ ΔA'B'C'

Relatii metrice in triunghiul dreptunghice


Teorema lui Pitagora

Intr-un triunghi dreptunghic, suma patratelor catetelor este egala cu patratul ipotenzei.

BC2=AB2+AC2


Teorema catetei

Intr-un triunghi dreptunghic, o cateta este medie proportionala intre ipotenuza si proiectia acestei catete pe ipotenuza.

AC2=BC*CD
AB2=BC*BD


Teorema inaltimii

Intr-un triunghi dreptunghic, inaltimea dusa din varful unghiului drept este medie proportionala intre cele doua segmente determinate de ea pe ipotenuza.

AD2=DB*DC

Asemanarea triunghiurilor

Definitie:

Doua triunghiuri se numesc asemenea daca au unghiurile respectiv congruente si laturile respectiv proportionale.

ΔABC~ΔA'B'C'⇔ { ∠A≡∠A';
∠B≡∠B';
∠C≡∠C';
A'B'
 AB 
=
B'C'
 BC 
=
C'A'
 CA 


Teorema lui Thales

O paralela la una din laturile unu triunghi determinã pe celelalte doua laturi segmente proportionale.

DE||BC =>
AD
 AB 
=
AE
 AC 

Teorema fundamentala a asemanarii

O paralela la una din laturile unu triunghi formeaza cu celelalte doua laturi un alt triughi care are toate unghiurile respectiv congruente si toate laturile respectiv proportionale cu ale celui initial.

PQ||BC⇔ { ∠A≡∠A;
∠P≡∠B;
∠Q≡∠C;
AP
 AB 
=
AQ
 AC 
=
PQ
 BC 

Cazuri de asemanare


CAZUL 1.

Doua triunghiuri care au un unghi congruent si laturile ce il formeazã proportionale sunt asemenea

∠A≡∠A'
A'B'
 AB 
=
A'C'
 AC 
} ΔABC~ΔA'B'C'
CAZUL 1.


CAZUL 2.

Doua triunghiuri care au doua unghiuri respectiv congruente, sunt asemenea

∠A≡∠A'
∠B≡∠B'
ΔABC~ΔA'B'C'
CAZUL 2.


CAZUL 3.

Doua triunghiuri care au toate laturile respectiv proportionale, sunt asemenea

A'B'
 AB 
=
B'C'
 BC 
=
C'A'
 CA 
ΔABC~ΔA'B'C'
CAZUL 3.
 
 
Copyright © 2012 Matematica Online.All rights reserved.
Web Design by Matematica Online